Nguyên lý (lý thuyết ) giới hạn trung tâm

Điểm căn bản của định lý này là: tổng một số vô hạn các biến ngẫu nhiên có hàm phân bố xác suất là Gaussian (hàm phân bố chuẩn (Normal distribution), hay còn gọi là hàm phân bố hình chuông). Một biến ngẫu nhiên x có hàm phân bố Gaussian thì hàm phân bố này có dạng

P(x) = ( 1/căn(2* pi * var) ) * exp( - (x - xtb )^2 / (2*var) )

Trong đó: xtb = E{ x } (trung bình thống kê của x --hay có một số tài liệu viết là kỳ vọng toán học của x), var = E{ (x-xtb)^2 } (cái này ko biết tiếng Việt gọi là Phương Sai?? ), với
E{ x } = tích_phân_của x*P(x)dx, tích phân này lấy trong toàn miền giá trị của x.

Bây giờ nói về định lý: giả sử ta có một tổng của N biến ngẫu nhiên độc lập với nhau

y = x1 + x2 + ... + xN, trong đó biến xi có hàm phân bố xác suất P(xi) có thể P(xi) không phải là Gaussian, nhưng nếu N là vô cùng lớn thì P(y) vẫn là Gaussian với các tham số

E{y} = E{x1} + E{x2} + ... + E{xN}
var{y} = var{x1} + var{x2} + ... + var{xN}

Sở dĩ nó được gọi là giới hạn trung tâm bởi Lim N--> vôcực { P(y) } --> Gaussian

Ghi chú: trong một số tài liệu viết là các biễn ngẫu nhiên xi , 1<= i <= N, phải có cùng hàm phân bố xác suất (không cần là Gaussian), nhưng thực ra không cần phải như vậy. Chúng có hàm phân bố xác suất khác nhau định lý trên vẫn đúng. Chỉ có một yêu cầu là hầu hết các biến ngẫu nhiên xi có hàm phân bố không quá hẹp.

Ứng dụng của định lý giới hạn trung tâm trong viễn thông: một hệ thống viễn thông sẽ chịu sự tác động của vô số các nguồn nhiễu khác nhau trên đường truyền. Mỗi một nhiễu là một biến ngẫu nhiên. Do đó, ở phía thu, ta thấy là trong tín hiệu nhận có một tổng của vô số các nhiễu khác nhau, tổng này có hàm phân bố (theo định lý trên) xác suất là Gaussian, cho nên khi mô phỏng nhiễu của hệ thống viễn thông, ta chỉ cần mô phỏng một nhiễu Gaussian ở phía thu là đủ.